Talita Seniuk e Junior Benedito Pleis

A MATEMÁTICA NO EGITO ANTIGO: UMA FERRAMENTA NECESSÁRIA

No nordeste do continente africano floresceu uma das mais exuberantes civilizações da História. A sociedade egípcia soube aproveitar o Rio Nilo e durante milênios prosperou deixando como herança inúmeros vestígios que comprovam a sua grandiosidade cultural, social, econômica, religiosa e científica. Para acompanhar a expansão dos domínios e controla-los de forma eficiente, até como forma de legitimar o estado faraônico, a Matemática se desenvolveu como uma ferramenta abstrata, que permitiu realizações concretas.

O Egito Antigo

O início das civilizações localizadas no Oriente Antigo [mesopotâmicos, egípcios, hindus e chineses] ocorreu com o desenvolvimento da prática da agricultura em vales férteis que eram inundados sazonalmente, pelas bacias dos Rios Tigre e Eufrates, do Rio Nilo, dos Rios Indo e Ganges no centro-sul da Ásia e dos Rios Huang Ho e Yang Tsé na Ásia Oriental. Colheitas abundantes aceleraram os processos de sedentarização dos agrupamentos humanos, que já se mostravam tecnicamente evoluídos nos milênios V, IV e III a. C.. A região do Egito Antigo, eixo central desta discussão, localizava-se numa área denominada como Crescente Fértil, devido ao formato de meia lua em fase crescente, que também compreendia a Mesopotâmia. Já no Neolítico essa região apresentava comunidades com base econômica agrícola, sustentada por processos de irrigação, por isso são chamadas de civilizações hidráulicas ou de regadio. Essa localidade contrasta entre vales férteis e desertos, sendo lócus privilegiado das primeiras cidades com governos centralizados e influenciados por uma religião.

Historicamente, o Crescente Fértil pode ser considerado como um local excepcional para um florescimento civilizatório em seus diversos matizes, entre eles aspectos urbanos, administrativos, culturais e religiosos dos diferentes povos que ali habitaram. O Rio Nilo, permitiu já em 5.000 a. C. aproximadamente, que pequenos povoados cultivassem alimentos e criassem rebanhos para satisfazer as suas necessidades básicas e foi, além disso, possibilitando a expansão destes em uma complexa civilização que já no quarto milênio estavam densamente habitados, porém divididos entre dois reinos, que foram unificados pelo primeiro faraó Menés em 3.200 a.C. que criou um Estado único [MARRIOT, 2016]. O poderio egípcio teve sua duração mais que milenar e sob uma perspectiva política, dividiu-se em Reino Antigo, Médio, Novo e Época Tardia. A importância dos recursos hídricos para este povo se sobressai em relação a outros aspectos, mas vale ressaltar que apenas a proximidade com a água doce por si só não garantiu a prosperidade, fora necessário domar a natureza [PINSKY, 1988] para que ela atendesse aos anseios de cada época e reino.

A sociedade egípcia era hierarquizada, o poder absoluto era exercido pelo faraó, que além de dominar as áreas militares, religiosas, jurídicas e administrativas, era considerado o próprio representante divino na terra, como afirma Pinsky: “mais que senhor dos exércitos ou supremo juiz, o faraó é o símbolo vivo da divindade” [1988, p. 70]. Apesar de o controle estar centralizado numa pessoa, o faraó dispunha de diversos servidores, cada qual responsável por uma nuance governamental, o grão-vizir, cargo mais importante entre os altos funcionários assessorava-lhe; escribas articulavam as ordens emanadas até sua real execução; sacerdotes cuidavam dos templos e ajudavam nas celebrações; chefes militares cuidavam dos exércitos em tempos de guerra e paz. Comerciantes negociavam produtos nacionais e importados; artesãos fabricavam de utensílios domésticos a objetos de decoração; camponeses cuidavam da terra e das plantações e escravos [felás] realizavam diferentes atividades, conforme as necessidades; estas duas camadas, segundo Pinsky [1988] foram o segredo da civilização egípcia, pois era através da sua força de trabalho que provinha a prosperidade.

A religião estava presente em quase todos os aspectos da vida cotidiana, sendo pautada no politeísmo, ou seja, o culto a vários deuses; que podiam intervir na vida e nos fenômenos da natureza. Atribuíam características animais a alguns, mesclando formas animais [zoomorfismo], humanas [antropomorfismo] e as duas juntas [antropozoomorfismo] nas divindades. Houve alguns faraós que tentaram implantar o monoteísmo durante seus respectivos reinados, mas o politeísmo prevaleceu; havia também deuses regionais, que poderiam ser cultuados numa determinada cidade e não em outra, como se fossem patronos, mas alguns chegaram a ser cultuados em todo o Egito, segundo Cardoso [1991]. Acreditavam que havia uma vida após a morte, por isso os mortos eram sepultados com seus objetos, para lhes serem úteis na outra vida e assim desenvolveram um processo de embalsamento com muita destreza, pois para alcançar a imortalidade, o corpo precisava se manter o mais próximo possível de suas características durante a vida; entretanto, nem todos tinham acesso à mumificação, pois ela custava caro.

De pequenos vilarejos iniciais até a vastidão imperial alcançada em determinados momentos, através dos milênios, a civilização egípcia contou com expansões, obras arquitetônicas singulares, invasões, aumento e diminuição populacionais, foi dominante e dominada, entre outros fatores, perdurando até 1.070 a.C. com a morte de Ramsés III, onde começou a declinar lentamente, desintegrando essa unidade organizacional em reinos menores. Durante seu auge, a extensão dos domínios trouxe uma complexidade nas estruturas sociais e a necessidade de controle governamental sobre todos os vieses da vida, principalmente naqueles que envolviam a manutenção do reino. 

A Matemática como ferramenta

Para satisfazer uma crescente necessidade de controle sobre um reino unificado que expandia, a Matemática emerge como um instrumento a fim de facilitar a administração do império. Surge como uma ciência prática, objetivando facilitar o cálculo do calendário, das colheitas, das obras públicas, da cobrança de impostos, estes essenciais para a manutenção do estado faraônico. Apesar das constantes trocas comerciais entre os povos orientais das antigas civilizações, percebem-se traços característicos nos conhecimentos científicos do período, ainda que uma avançasse mais do que outras, havia elementos que permaneciam preservados. A matemática era basicamente prática, a preocupação era como proceder e não havia um interesse nos porquês, ou tentativas de demonstrações abstratas [BOUTROUX apud NOGUEIRA, 2016], que só vão aparecer com os gregos posteriormente. Outro quesito que merece destaque para a perpetuação do conhecimento científico egípcio e até do Oriente Antigo é que o caráter estático da estrutura social contribuiu com sua preservação durante milênios:

“Os egípcios conheceram fatos matemáticos; souberam manejar fórmulas e raciocinar com figuras geométricas, porém, na medida em que se pode julga-los atualmente, o fizeram, perseguindo fins práticos e utilitários. Não parece que tenham tido uma concepção clara da ciência teórica, um ideal cientifico” [BOUTROUX, 1962, p.242 apud NOGUEIRA, 2016, p. 26].

Há alguns teóricos como Germain [1962] que discordam dessa visão simplista da Matemática egípcia, pois alguns papiros demonstram problemas que exigem determinado grau de abstração, como: “o cálculo exato do volume do tronco de pirâmide de base quadrada segundo a fórmula V=(h[a^2+ab+b^2])/3; a determinação da área de um semicírculo, com o auxilio de uma fórmula equivalente a usada atualmente, coma excelente aproximação para π de [16/9]2 = 3,160...” [GERMAIN, 1962, p.242 apud NOGUEIRA, 2016, p. 26]. Já Struick [1992] assume uma posição intermediária a respeito disso, de que a Matemática egípcia possuía objetivos limitados, essencialmente práticos mas com alguma sofisticação dentro desses mesmos limites.

Independente da tendência teórica que se escolha, há três documentos matemáticos em especial que merecem destaque: os papiros de Ahmes ou Rhind, de Kahun e o de Moscou ou Golonishev. Este, o mais antigo, apresenta vinte e cinco problemas e contém também a fórmula correta para o cálculo do volume de um tronco de pirâmide. O de Ahmes/Rhind contém oitenta e cinco problemas expressos verbalmente, entre os quais alguns apenas de interesse matemático [abstratos] demonstrando o desvencilhamento com o real. Ambos comprovam as habilidades dos egípcios em manipular dados, concretos ou abstratos, a seu favor. Seu sistema de numeração era decimal, ou seja, de base dez e os números eram representados por símbolos que podiam ser repetidos nove vezes, que depois seria substituído por outro que novamente poderia ser repetido por nove vezes e assim sucessivamente; dez símbolos iguais eram trocados por outro superior; o valor do número escrito era a soma dos valores dos símbolos utilizados. Sua numeração era aditiva e não posicional. 

A Aritmética apresentava símbolos hieróglifos para alguns números que combinados formavam números intermediários. O sentido da escrita era da esquerda para a direita, como a maioria das escritas orientais; a Aritmética determinava os resultados das adições e subtrações pela simples combinação de símbolos, já as multiplicações e divisões eram restringidas a processos aditivos. As frações eram conhecidas e possuíam símbolos especiais, bem como as raízes quadradas simples que eram representadas por números inteiros e frações [cuja predominância é o uso de 2/3]. No papiro de Rhind encontra-se: “[...] uma tabela que permite a transformação de frações quaisquer na soma de frações unitárias” [ZANARDINI, 2017, p. 30], mas que não possui explicações de como se chegaram às combinações apresentadas.

Os egípcios não reconheciam os números irracionais, aqueles que não podiam ser representados em forma de fração por exemplo. Equações do primeiro grau simples aparecem em alguns papiros, tendo como forma de resolução processos aritméticos, utilizando um artifício engenhoso que ficou conhecido como regra da falsa posição ou regra do falso:

“Por exemplo: qual o número que somado a sua terça parte da oito? Pela Regra da Falsa Posição, fazia-se uma hipótese inicial qualquer a respeito do número e verificava-se o que ocorria. Suponhamos, em nosso caso, que tal número fosse 3. Ora, 3 somado com sua terça parte da 3+1=4, exatamente a metade dos 8 que deveria dar. Portanto, o número procurado e o dobro de 3, ou seja, 6” [GARBI,1997, p.13].

Não obstante a importância dos papiros já citados, o registro matemático mais antigo, datado de 2.900 a. C. é uma clava de pedra, que fora encontrada na cidade de Hieracômpolis e que registra foneticamente o nome Narmer [Menés], rei que unificou o Baixo e o Alto Egito e apresenta o que pode ser um inventário de batalhas, com representações numéricas com cabeças de animais e números de prisioneiros capturados. A notação utilizada demonstra um método concreto de enumeração: o número é representado pelo alinhamento de objetos que associados formavam uma ordem de unidades, como pedrinhas para as unidades, conchas para dezenas, bolinhas para centenas e assim por diante. A numeração hieroglífica já continha sinais específicos que representavam as diversas ordens; um traço vertical para unidade, símbolo de alça para dezena, sinal similar ao de uma corda enrolada para centena, desenho de flor de lótus com talo para mil, dedo humano dobrado para dez mil, um girino para cem mil e uma figura humana ajoelhada representava um milhão.

Nos papiros de Ahmes e Moscou há cento e dez problemas matemáticos, destes vinte e seis são de natureza geométrica. As questões apresentadas estão ligadas aos entraves cotidianos da época, como armazenamento de grãos, distribuição de ração para os animais, divisão de alimentos para as pessoas. As resoluções para tais problemas envolvem equações lineares triviais, mas há também a presença de outros mais sofisticados relacionados a progressões aritméticas e geométricas [ZANARDINI, 2017]. Dentro de seus limites, muitos conhecimentos do período se aproximam de medidas que utilizamos na contemporaneidade:

“Para o cálculo da área do círculo, por exemplo, os egípcios relacionavam o diâmetro D do círculo com o lado L do quadrado, sendo: D = 9L/8 ou equivalente: L = 8D/9. Essa relação de que a área do círculo de diâmetro correspondente a 9/8 do lado de um quadrado de mesma área é equivalente, nos dias de hoje, à aproximação para π igual a 3,16 e não para 3,1415..., como é o correto” [ZANARDINI, 2017, p. 28].

Sabe-se que o Rio Nilo propiciava boa parte da riqueza dos egípcios, pois durante a época mais quente, a inundação tomava conta de determinadas terras que eram fertilizadas através do acúmulo de detritos orgânicos e sais minerais que permitiriam o futuro plantio das culturas que alimentariam a população, nesse sentido, as cheias não eram vistas como algo negativo, destruidor, mas essenciais para a manutenção da vida. Pautando-se nos momentos sazonais do rio, de ora inundação ora retração, para as atividades agrícolas, os egípcios estabeleceram um calendário bastante preciso, que era dividido em três: Akhet ou inundação, Peret ou germinação/plantio e Chemu ou estiagem/colheita que orientava o cotidiano; possuía doze meses de 30 dias cada [com três semanas de dez dias, o dia durava vinte e quatro horas] com o acréscimo de cinco dias de festas ao final do ano [ZANARDINI, 2017]. Não obstante, criaram um mecanismo para medir quanto o Rio Nilo subia em seu ápice, o nilômetro que consistia numa régua, que era fixada na cidade de Elefantina, ao sul do Egito.

Vale ressaltar, que eram necessários conhecimentos matemáticos específicos, pois: “sem o controle das enchentes a forca das águas poderia destruir tudo” [DURANT, 1959, p.147] e para domar essa benesse dos deuses, sabendo prever os períodos de estiagem e para eles construir barragens, canais de irrigação; drenar pântanos, bem como delimitar até onde a água poderia chegar e evitar transtornos nesse sentido. Segundo Heródoto, as cheias duravam 100 dias a partir do solstício de verão, retornando ao normal no inverno; era necessária muita disciplina e força para manter os diques e canais eficientes para manter a agricultura depois desse período. A terra enlameada, própria para o plantio, recebia o nome de kemet e alcançava aproximadamente 10 km de extensão e de acordo com Cardoso [1991] um terço dessa quantia tornava-se arável. A divisão dessas terras precisava ser recalculada a cada retorno ao nível normal do rio, para que cada senhor, com suas propriedades perfeitamente delimitadas, sem ser prejudicado e prejudicar ninguém, pudesse cultivar novamente sobre seus domínios e por isso, segundo historiadores gregos, essa necessidade forçou os egípcios ao estudo da Geometria, como pode ser percebido no papiro de Moscou que demonstra um desses cálculos [ZEUTHEN apud TAHAN, s.d.].

Tratando-se ainda da Geometria egípcia, seu progresso científico pode ser atestado nas construções ímpares que realizaram e ainda hoje resistem ao tempo e as intempéries climáticas, além de fascinar pela exatidão, proporção e formatos singulares. As pirâmides, sua arquitetura mais famosa, demonstra que sabiam calcular as áreas do triângulo, do círculo; dominavam o volume de formas como cubos, paralelepípedos e dos cilindros circulares. Os cálculos realizados e registrados em documentos históricos comprovam que para estabelecer determinados perímetros ou áreas estão: “[...] entre as primeiras afirmações precisas da história referentes a figuras não curvilíneas” [BOYER, 1974, p.13]. Os blocos de pedra utilizados nessas construções pesavam aproximadamente 2,5 toneladas e além de não ser encontrados no Egito, o que demonstra a destreza na sua logística, fascinam pela exatidão de suas formas, prevalecendo a precisão das técnicas de corte, atividades amparadas em cálculos matemáticos.

Parafraseando Pinsky [1994], o gigantismo do Egito foi ao mesmo tempo sua fraqueza e sua força; devido à extensão imperial, hierarquia social e a taxação de impostos sobre quase todas as atividades e produtos revela um sistema burocrático extremamente complexo, que precisava ser eficiente para a manutenção do estado faraônico. Animais, cereais e tecidos precisavam ser tutelados pelo governo para redistribuições futuras em tempos de crise, para pagamento de funcionários entre outros. O controle sobre os insumos, os recursos humanos, as construções magníficas demonstram habilidade de cálculo e planejamentos que sem a Matemática seriam impossíveis de realizar. A contribuição dos egípcios para esta ciência é significativa; suas motivações eram pautadas nos problemas do cotidiano que precisavam ser resolvidos para o bom funcionamento da sociedade. Entre inúmeras ferramentas utilizadas para administrar todo o império, a Matemática talvez tenha sido uma das mais relevantes, porque permitiu que essa civilização prosperasse durante milênios.

Referências

Talita Seniuk é Licenciada em História pela Universidade Estadual de Ponta Grossa/UEPG; Especialista em Metodologia do Ensino de História pelo Centro Universitário de Maringá/UniCesumar; Licenciada em Ciências Sociais pela Universidade Metodista de São Paulo/UMESP; Especialista em Ensino de Sociologia pela Universidade Cândido Mendes/UCAM. Atualmente é acadêmica de Licenciatura em Filosofia pela Universidade Metropolitana de Santos/UNIMES e Professora de História da Secretaria de Estado de Educação de Mato Grosso/SEDUC MT.

Junior Benedito Pleis é Licenciado em Matemática pelo Centro Universitário de Maringá/UniCesumar; Especialista em Metodologia do Ensino em Matemática pela Faculdade Eficaz. Atualmente é acadêmico de Licenciatura em Física pela Universidade Metropolitana de Santos – UNIMES e Professor de Matemática da Secretaria de Estado de Educação de Mato Grosso/SEDUC MT.

BOYER, C. B. História da matemática. São Paulo: Edgard Blücher, 1974.

CARDOSO, C. F. S. Sociedades do Antigo Oriente Próximo. São Paulo: Ática, 1991.

DURANT, W. História da civilização. V. III. São Paulo: Companhia Editora Nacional, 1959.

GARBI, G. G. O romance das equações algébricas. São Paulo: Makron Books, 1997.

MARRIOT, E. A História do Mundo para quem tem pressa. Rio de Janeiro: Valentina, 2016.

NOGUEIRA, C. M.I. História da Matemática. Maringá: UniCesumar, 2016.

PINSKY, J. As primeiras civilizações. São Paulo: Atual, 1988.

STRUICK, D. História concisa das matemáticas. Lisboa: Gradiva, 1992.

TAHAN, M. Antologia da Matemática. São Paulo: Saraiva, s.d..

ZANARDINI, R. A. D. Um breve olhar sobre a história da matemática. Curitiba: InterSaberes, 2017.